Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación y2 = 4px: 16 = 4p(3) p=16/12 = 4/3 y2 = 16/3X
Sea una parábola horizontal de vértice V = (h, k);
la distancia focal de la parábola = p; foco F = (h + p, k). La recta directriz
es x = h - p.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos
equidistantes del foco y de la recta directriz.
El eje entre el vértice y el foco, denominado el eje focal es
horizontal.
La distancia d(P,F) es igual a
la distancia d(P,r).
Quiere decir, que la distancia de un punto genérico P(x, y) al foco,en este caso F(h + p) es igual a la distancia del mismo punto P(x, y) a la recta r o recta directriz.
En (2) se escribe la distancia
euclídea entre dos puntos y la distancia de P(x, y) a la recta en
valor absoluto; en (3) se ha elevado al cuadrado
la igualdad anterior.
En (4) se desarrolla para
simplificar y finalmente queda (5) la ecuación canónica
de la parábola horizontal.
Parábola Horizontal con Vértice
V(h,k) fuera del origen, eje de simetría paralelo al de coordenadas X, y cuyo
Foco está a una distancia p del vértice y a la derecha de él.
Como la distancia PF = distancia PM = Ecuación de la Directriz, tendremos:
Elevando al cuadrado ambos miembros:
[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2
[X - (h + p)]2 + (y - k)2 = [X - (h - p)]2
Desarrollando y simplificando
X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2
X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2
X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2
-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp
(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp
(y - k)2 = 4Xp - 4hp
(y - k)2 = 4p(X - h)
X2 - 2X(h + p) + (h + p)2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + (h - p)2
X2 - 2X(h + p) + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2X(h - p) + h2 - 2hp + p2
X2 - 2Xh - 2Xp + h2 + 2hp + p2 + (y - k)2 = X2 - 2Xh + 2Xp + h2 - 2hp + p2
-2Xp + 2hp + (y - k)2 = 2Xp - 2hp
(y - k)2 = 2Xp - 2hp - 2Xp + 2hp
(y - k)2 = 4Xp - 4hp
(y - k)2 = 4p(X - h)
Si desarrollamos la ecuación anterior, se obtiene:
y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp
y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0
Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:
y2 + Dy +Ex + F = 0
y2 - 2yk + k2 = 4xp - 4hp
y2 - 2yk + k2 + 4hp - 4xp = 0
Si D = -2k, E = - 4p, F = k2 + 4hp, se obtienen la fórmula:
y2 + Dy +Ex + F = 0
Parábola Vertical de Vértice V(h,k)
fuera del Origen, eje de simetría paralelo al eje Y, y cuyo Foco está a una
distancia p del Vértice:
Aplicando la PF= PM = Ecuación de la Directriz:
Elevando al cuadrado y simplificando:
(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2
(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2
(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2
(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp
(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp
(X - h)2 = 4yp - 4kp
(X - h)2 = 4p(y - k)
(X - h)2 + [y - (k + p)]2 = [y - (k - p)]2
(X - h)2 + y2 - 2y(k + p) + (k + p)2 = y2 - 2y(k - p) + (k - p)2
(X - h)2 + y2 - 2yk - 2yp + k2 + 2kp + p2 = y2 - 2yk + 2yp + k2 - 2kp + p2
(X - h)2 - 2yp + 2kp = 2yp - 2kp
(X - h)2 = 2yp - 2kp + 2yp - 2kp
(X - h)2 = 4yp - 4kp
(X - h)2 = 4p(y - k)
Desarrollando el binomio y simplificando la ecuación anterior se tiene:
X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp
X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0
X2 - 2xh + h2 = 4yp - 4kp
X2 - 2xh + h2 - 4yp + 4kp = 0
Haciendo D = -2h, E = -4p, F = 4kp + h2, se obtiene la ecuación:
X2 + Dx + Ey + F = 0
X2 + Dx + Ey + F = 0
Obtener la ecuación, el foco y la
directriz de la parábola con vértice en el origen y contiene
al punto B(3,4), además su eje focal es paralelo al eje X.
Resolución: Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación.
y = 4px :
16 = 4p(3)
p=16/12=4/3
y2= 16/3x
Foco: F (4/3,0) Directriz: x= -4/3
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